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Análisis Matemático 66
2024
GUTIERREZ (ÚNICA)
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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)
14. Determine los valores de $c \in(0,+\infty)$ para los cuales la ecuación $e^{\frac{x^{2}}{x-1}}=c$ tiene una única solución.
Respuesta
Arrancamos definiendo $f(x) = e^{\frac{x^{2}}{x-1}}$ y haciendo un estudio de función completo. Al final, cuando tengamos el gráfico aproximado, vamos a poder responder a la pregunta del enunciado.
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1) Identificamos el dominio de $f(x)$
El dominio de $f$ es $\mathbb{R} - \{1\}$
2) Asíntotas
- Asíntotas verticales:
$\lim_{x \to 1^-} e^{\frac{x^{2}}{x-1}} = 0$
$\lim_{x \to 1^+} e^{\frac{x^{2}}{x-1}} = +\infty$
Por lo tanto, $x = 1$ es asíntota vertical de $f$.
- Asíntotas horizontales: Tomamos los límites cuando $x$ tiende a $\pm \infty$
$\lim_{x \to +\infty} e^{\frac{x^{2}}{x-1}} = e^{+\infty} = +\infty $
$\lim_{x \to -\infty} e^{\frac{x^{2}}{x-1}} = e^{-\infty} = 0 $
Por lo tanto, $f$ tiene una asíntota horizontal en $y = 0$ en $-\infty$.
3) Calculamos $f'(x)$:
A mi la derivada me quedó así
\( f'(x) = e^{\frac{x^{2}}{x-1}} \cdot \frac{x^2 - 2x}{(x-1)^2} \)
4) Igualamos $f'(x)$ a cero para encontrar los puntos críticos:
$e^{\frac{x^{2}}{x-1}} \cdot \frac{x^2 - 2x}{(x-1)^2} = 0$
Como la exponencial nunca es cero, las soluciones van a salir de plantear:
$ \frac{x^2 - 2x}{(x-1)^2} = 0$
$x^2 - 2x = 0$
Y las soluciones de esta ecuación, terminando de despejar, son $x=0$ y $x=2$. Por lo tanto, estos son nuestros puntos críticos.
5) Dividimos la recta real en intervalos donde sabemos que $f'(x)$ es continua y no tiene raíces:
a) $x < 0$
b) $0 < x < 1$
c) $1 < x < 2$
d) $x > 2$
6) Evaluamos el signo de $f'(x)$ en cada uno de los intervalos:
a) Para $x < 0$
$f'(x) > 0$. En este intervalo, $f$ es creciente.
b) Para $0< x < 1$,
$f'(x) < 0$. En este intervalo, $f$ es decreciente.
c) Para $1 < x < 2$
$f'(x) < 0$. En este intervalo, $f$ es decreciente.
d) Para $x > 2$
$f'(x) > 0$. En este intervalo, $f$ es creciente.
No te olvides vos cuando hagas el gráfico de evaluar cuánto vale $f$ en cada uno de los máximos y mínimos que nos quedaron. Deberias tener en tu hoja algo como esto:
Ahora que ya tenemos el gráfico de $f$ respondamos a la pregunta: Tenemos que determinar los valores de $c \in(0,+\infty)$ para los cuales $f(x)=c$ tiene una única solución.
Viendo el gráfico, $f$ tiene una única solución si $c = f(0)$ y si $c = f(2)$. Para cualquier otro valor de $c$, tendremos dos soluciones o ninguna.